路径幂图中的卵石博弈

图 $G$ 的 $t$ 重卵石数 $\pi_t(G)$ 定义为最小整数 $m$，使得从 $G$ 顶点上任意给定的 $m$ 个卵石配置出发，均可通过卵石移动在任意指定顶点上放置至少 $t$ 个卵石。已有猜想认为无金字塔弦图的卵石数可在多项式时间内算出。图 $G$ 的第 $k$ 次幂 $G^{(k)}$ 是通过在彼此距离至多为 $k$ 的任意两顶点间添加边得到的。路 $P_n$ 的第 $k$ 次幂是一类重要的无金字塔弦图。Pachter、Snevily 和 Voxman (1995)、Kim (2004) 以及 Kim 和 Kim (2010) 分别计算了 $2\le k\le 4$ 时的 $\pi(P_n^{(k)})$。本文中我们计算了所有 $n$、$k$ 和 $t$ 下的 $\pi_t(P_n^{(k)})$。对于函数 $D:V(G)\rightarrow{\mathbb N}$，图 $G$ 的 $D$ 卵石数 $\pi(G,D)$ 定义为最小整数 $m$，使得从 $G$ 顶点上任意给定的 $m$ 个卵石配置出发，均可通过卵石移动在每个顶点 $v$ 上放置至少 $D(v)$ 个卵石。我们猜想每个 $G$ 和 $D$ 满足 $\pi(G,D)\le \pi_{|D|}(G)-(s(D)-1)$，其中 $s(D)$ 计数满足 $D(v)>0$ 的顶点 $v$ 数。我们对树以及所有 $n$ 和 $k$ 下的 $P_n^{(k)}$ 证明了此猜想。图 $G$ 的卵石指数 $e_\pi(G)$ 由 Pachter 等人定义为使 $\pi(G^{(k)})=n(G^{(k)})$ 的最小 $k$。显然 $e_\pi(G)\le {\rm diameter}(G)$，且 Czygrinow、Hurlbert、Kierstead 和 Trotter (2002) 证明了几乎所有图 $G$ 都有 $e_\pi(G)=1$。Lourdusamy 和 Mathivanan (2015) 证明了关于 $\pi_t(C_n^2)$ 的若干结果，Hurlbert (2017) 证明了 $e_\pi(C_n)$ 的渐近紧公式。我们对 $\pi_t(P_n^{(k)})$ 的公式使我们能渐近紧地计算 $e_\pi(P_n)$。