用于 Pebbling 与 I/O 下界的 DAG 访问方法

我们引入有向无环图 DAG $G=(V,E)$ 的 $r$-访问概念，即遵从给定规则 $r$ 的 DAG 顶点序列。规则 $r$ 为每个顶点 $v\in V$ 指定一族 $r$-启用前驱（直接前驱）集：在访问 $v$ 之前，必须已访问其至少一个启用集。特例包括 $r^{(top)}$-规则（或拓扑规则），其唯一启用集为所有前驱的集合；以及 $r^{(sin)}$-规则（或单例规则），其启用集为恰含一个前驱的单例。DAG $G$ 的 $r$-边界复杂度 $b_{r}\left(G\right)$ 是最小整数 $b$，使得存在一种 $r$-访问，在每个阶段，对至多 $b$ 个尚未访问的顶点已访问过其一个启用集。通过对已知结果的重新表述，表明 DAG $G$ 的边界复杂度是其逆图 $G^R$ 的 pebbling 数的下界。若干已知 pebbling 下界可用 $r^{(sin)}$-边界复杂度表述。一种用于 I/O 下界的访问划分技术，推广了 Hong 与 Kung 在其经典论文“I/O complexity: The Red-Blue pebble game”中引入的 $S$-划分 I/O 技术。访问划分方法对一些 DAG 给出了紧 I/O 界，而 $S$-划分技术只能给出 $\Omega(1)$ 下界。