标准 Pebble Game 的不可近似性与难以 Pebble 的图

Pebble Game 是在有向无环图 (DAG) 上的单人游戏，涉及根据特定规则集在图的节点上放置和移动 pebble。目标是使用最少数量的 pebble 来 pebble 一组目标节点。在本文中，我们给出了 [CLNV15] 中结果的一个可能更简单的证明，并加强了该结果，表明在标准 pebble game 中，确定最小 pebble 数量至加性 $n^{1/3-\epsilon}$ 项对所有 $\epsilon > 0$ 是 PSPACE-hard 的，这改进了 [CLNV15] 中目前已知加性常数的不可近似性硬度。我们还引入了一族具有 $n$ 个节点且常数入度的显式图，其中该族中存在一个图，使得在标准和黑白 pebble game 中，使用常数 $k$ 个 pebble 需要 $\Omega(n^k)$ 次移动来完成 pebble。这独立地回答了 [Nor15] 中总结的一个开放问题，即是否存在一族 DAG，其使用常数 $k$ 个 pebble 达到 $O(n^k)$ 次移动的上界，且其构造不同于 [AdRNV17] 中给出的构造。