基于无容量限制最小费用流的二维直方图间 Kantorovich-Wasserstein 距离计算

本文提出一种计算一对二维直方图之间一阶 Kantorovich-Wasserstein 距离的方法。计算机视觉与机器学习领域近期的研究表明，通过在具有 $n$ 个节点和 $n^2$ 条边的极大完全二部图上求解经典运输问题，度量具有 $n$ 个区间的直方图之间的一阶 Wasserstein 距离具有诸多优势。我们工作的主要贡献是：利用代价函数的几何结构，在规模为 $O(n)$ 的简化流网络上以无容量限制最小费用流问题逼近原始运输问题。更确切地说，当区间中心间距离以 1-范数或 $\infty$-范数度量时，我们的方法给出最优解；当区间间距离以 2-范数度量时：(i) 我们推导了最优解与近似解之间误差的定量估计；(ii) 给定误差，我们构造了规模为 $O(n)$ 的简化流网络。我们通过在文献中用作基准的一组灰度图像上计算一阶 Wasserstein 距离，从数值上展示了该方法的优势。我们展示了该方法在 1-范数、2-范数和 $\infty$-范数底距离下如何随图像尺寸扩展，并与文献中广泛使用的另外两种方法进行了比较。