基于贝叶斯直方图的 Wasserstein 距离下内存高效极小极大分布估计

我们在 i.i.d 采样机制下研究 $[0,1]^d$ 上基于 Wasserstein $W_v$（$1 \leq v < \infty$）距离的分布估计的贝叶斯直方图。我们新近证明：当 $d < 2v$ 时，直方图具备一种特殊的“内存高效”性质，即相对于样本量 $n$，需要 $n^{d/2v}$ 阶的箱数即可达到极小极大速率最优。该结果对后验均值直方图成立，且就后验收缩而言：在 Borel 概率测度类及若干光滑密度类下成立。所达到的内存占用相较现有极小极大最优过程以 $n$ 的多项式因子占优；例如与作为 Borel 概率测度类中极小极大估计量的经验测度相比，内存占用减少 $n^{1 - d/2v}$ 因子。此外，构建后验均值直方图与后验本身均可关于 $n$ 超线性地完成。由于 $W_1,W_2$ 度量的流行以及 $d < 2v$ 情形所提供的覆盖，我们的结果在 $(d=1,v =1,2), (d=2,v=2), (d=3,v=2)$ 设定中最具实际意义，并给出若干此类情形的仿真以佐证理论。