关于具有非 Lipschitz 漂移系数的随机微分方程强逼近的复杂性

我们综述了基于对驱动布朗运动的有限次评估，在最终时刻对随机微分方程解进行 $p$ 阶均值路径逼近的复杂性领域的最新进展。首先，我们简要回顾了系数全局 Lipschitz 连续的情形，对于此类方程，使用等距 Euler-Maruyama 格式总能保证关于驱动布朗运动评估次数的误差阶至少为 $1/2$。接着，我们说明放弃系数的全局 Lipschitz 连续性可能导致 Euler-Maruyama 格式的误差呈非多项式衰减，甚至导致基于有限次驱动布朗运动评估所能达到的最小误差出现任意缓慢的衰减。最后，我们转向针对漂移系数非全局 Lipschitz 连续方程的最新正面结果。此处我们聚焦于扩散系数 Lipschitz 连续且漂移系数满足分段光滑假设或具有分数 Sobolev 正则性的标量方程，并呈现相应的复杂性结果。