多乘积公式中哈密顿模拟的李子缩放

多乘积公式（Multi-Product Formula, MPF）是一种在系统规模 $N$ 与逆允许误差 $1/\varepsilon$ 之间高效进行哈密顿模拟的方法，通过结合 Trotter 分解与线性算子组合（Linear Combination of Unitaries, LCU）实现。它在 $1/\varepsilon$ 上实现对数多项式复杂度，类似于 LCU [G. H. Low, V. Kliuchnikov, N. Wiebe, arXiv:1907.11679 (2019)]。在 $N$ 的效率预期来源于 Trotter 分解中的李子缩放，这一点似乎被来自 J. Aftab、D. An、K. Trivisa 的 error bound [arXiv:2403.08922 (2024)] 所确认。然而，我们指出 MPF 在系统规模 $N$ 的效率尚未得到完全解决，因为现有以嵌套李子表达式的 error bound 与反映李子缩放的规模高效性复杂度不相容。问题在于其要求和 error bound 中涉及任意较大 $q$ 的 $q$ 层嵌套李子，而其中的局域性收益因此缺失，$N$ 的高效成本在一般情况下变得不可接受。在本文中，我们展示了 MPF 的另一种李子缩放 error，并正确地推导了其规模高效成本，充分继承了 Trotter 分解的优势。我们的方法通过 Floquet-Magnus 展开技术推导，其对嵌套李子的要求与 error bound 具有特定的截断阶数，能够充分利用局域性。我们证明，通过 MPF 实现的哈密顿模拟 certainly 能够实现成本，其系统规模依赖性与 Trotter 分解相当，同时保持类似 LCU 的 $\mathrm{polylog}(1/\varepsilon)$-scaling。我们的结果将为各种使用插值或外推 Trotter 分解的算法提供更准确或改进的 error 与成本估计。