关于二次切锥的Cohen-Macaulay性质

设$H$为一个由$n$生成的数值半群，使得其切锥$\operatorname{gr}_\mathfrak{m} K[H]$由二次关系定义。我们证明若$n<5$，则$\operatorname{gr}_\mathfrak{m} K[H]$是Cohen-Macaulay的；对于$n=5$，我们显式描述了使得$\operatorname{gr}_\mathfrak{m} K[H]$不是Cohen-Macaulay的半群$H$。作为一个应用，我们证明若域$K$代数闭且特征不为2，且$n\leq 5$，则$\operatorname{gr}_\mathfrak{m} K[H]$是Koszul的当且仅当（可能在坐标变换后）其定义理想具有二次Gröbner基。