关于绝对范数可达算子的闭包

设 $H_1$ 和 $H_2$ 为复 Hilbert 空间，$T:H_1\rightarrow H_2$ 为有界线性算子。若存在 $x\in H_1$ 满足 $\|x\|=1$ 使得 $\|Tx\|=\|T\|$，则称 $T$ 为范数可达算子。若对 $H_1$ 的每个闭子空间 $M$，限制算子 $T|_{M}:M\rightarrow H_2$ 均为范数可达，则称 $T$ 为绝对范数可达算子或 $\mathcal{AN}$-算子。若将算子的范数替换为最小模 $m(T)=\inf{\{\|Tx\|:x\in H_1,\; \|x\|=1\}}$，则分别称 $T$ 为最小模可达算子和绝对最小模可达算子（或 $\mathcal{AM}$-算子）。本文讨论 $\mathcal{AN}$-算子的算子范数闭包。我们完全刻画了该闭包中的算子并研究了若干重要性质。主要给出了此类中正算子的谱刻画，并在算子为正规时给出表示。随后我们还研究了 $\mathcal{AM}$-算子的类似性质，并证明 $\mathcal{AM}$-算子的闭包与 $\mathcal{AN}$-算子的闭包相同。作为推论，我们对 $\mathcal{AM}$-算子范数闭包中的算子证明了类似结果。