关于由树上顶点映射产生的一类相似平方 {-1,0,1}-矩阵

设 $n \ge 2$ 为整数。在本注记中，我们证明了所有具有 $n+1$ 个顶点的有向树上的所有连续顶点映射的、定义在实数域 $\mathcal R$ 上（分别在二元有限域 $\mathcal Z_2$ 上）的有向转移矩阵，在 $\mathcal R$ 上（分别在 $\mathcal Z_2$ 上）彼此相似，且具有特征多项式 $\sum_{k=0}^n x^k$。因此，所有具有 $n+1$ 个顶点的有向树上的所有连续顶点映射的、定义在 $Z_2$ 域上的无向转移矩阵，在 $\mathcal Z_2$ 上彼此相似，且具有特征多项式 $\sum_{k=0}^n x^k$。因此，当在实数域 $\mathcal R$ 上考虑时，这些无向转移矩阵的特征多项式的系数均为奇整数（因而非零）。