论$C^*$-动力系统的Chern-Gauss-Bonnet定理与保角扭曲谱三元组

我们研究了由一个配备紧李群$G$的遍历作用的$C^*$-代数$A$构成的$C^*$-动力系统的Chern-Gauss-Bonnet定理的类似物。利用$G$的李代数$\mathfrak{g}$的结构，将系数在光滑子代数$\mathcal{A} \subset A$中的Chevalley-Eilenberg复形解释为动力系统上的非交换微分形式。我们通过由代数的正可逆元给出的Weyl保角因子，保角扰动与$A$上唯一$G$-不变态相关的标准度量，并考虑其在复形上诱导的Hermitian结构。证明了Hodge分解定理，使得我们可以将复形的欧拉示性数与扰动度量的Hodge-de Rham算子的指标性质联系起来。该算子被证明是自伴的，是我们构造$\mathcal{A}$上的谱三元组及其反对代数上的扭曲谱三元组的关键要素。欧拉示性数的保角不变性被解释为该情形下Chern-Gauss-Bonnet定理的表征。编码保角扰动度量的谱三元组被证明具有与未扰动情形相同的谱可和性性质。