具有非线性非齐次梯度与源项自由边界系统爆破解与整体径向解的特征刻画

本文关注如下双自由边界系统的爆破解与整体径向解的特征刻画：\begin{align}\label{bs_pr} \tag{1.1} \left\{\begin{array}{rl} u_t(t,r)= \Delta u(t,r) - \lambda(t,x)|\nabla u(t,r)|^{\alpha} + a(t,x)v^{p}(t,r),& t>0,\ 0<r<h(t),\\ v_t(t,r) = \Delta v(t,r) - \lambda(t,x) |\nabla v(t,r)|^{\alpha}+ a(t,x)u^{p}(t,r), & t>0,\ 0 < r < g(t), \end{array}\right. \end{align} 其中 $r = |x|,\ x \in \R^N$，$p, \alpha >1$ 为给定常数，且 $\lambda(t,x), a(t,x)$ 满足适当的预设增长条件。首先，我们证明了 ("ref{bs_pr}") 局部解的适定性。其次，我们通过建立 $\alpha$、$p$ 与系数增长率之间的某些关系，成功对爆破与整体现象进行了分类，其中基于 Stampacchia 截断方法证明比较原理起到了核心作用。特别地，若 $1<\alpha < p$ 且 $(u(0,r);v(0,r)) = A (\phi(r); \varphi(r))$ 是 ("ref{bs_pr}") 的初始数据，我们发现两个特定的正阈值 $A^*_G$ 与 $A^*_B$，使得当 $0 < A < A_G^{*}$ 时存在整体快速解，当 $A$ 取满足 $A^*_G \leq A < A^*_{B}$ 的合适值时存在整体慢速解，而当 $A \geq A^{*}_{B}$ 时解发生爆破。另一方面，若 $\alpha \geq p$ 并结合关于 $\beta, p$ 与 $\alpha$ 的适当比较，则存在具有指数衰减非负初始数据的整体解。我们的方法与著名文献 \cite{MF,PS} 截然不同，其中作者仅能处理常系数方程。据我们所知，这是首次揭示非齐次系数对具有非线性梯度与不同自由边界的协作系统爆破与整体现象影响的工作。