关于 Berger-Coburn 现象

在先前的工作中，作者证明了在广义 Fock 空间上紧和 Schatten $S_p$ 类 Hankel 算子 $H_f$ 当 $1<p<\infty$ 时的 Berger-Coburn 现象，即对于有界符号 $f$，若 $H_f$ 是紧或 Schatten 类算子，则 $H_{\bar f}$ 亦是。最近 J.~Xia 给出了一个简单例子，表明在经典 Fock 空间 $F^2$ 上迹类 Hankel 算子不存在 Berger-Coburn 现象。利用 Xia 的例子，我们表明对于任意 $0<p\le 1$，广义 Fock 空间 $F^2_\varphi$ 上的 Schatten $S_p$ 类 Hankel 算子不存在 Berger-Coburn 现象。我们的方法基于 Schatten 类 Hankel 算子的刻画，而 Xia 的方法是初等的并大量使用 $F^2$ 的显式基向量，这对于我们所考虑的加权 Fock 空间是无法获得的。我们还提出了四个开放问题。