关于基于图复制存储的 $X$-安全 $T$-私有信息检索的渐近容量

基于图复制存储的私有信息检索问题最近由 Raviv、Tamo 和 Yaakobi 提出。其容量在几乎所有情形下仍属开放问题。本文研究了该问题的渐近容量 (大消息数)，并将其推广至包含任意 $T$-隐私与 $X$-安全约束，其中用户的隐私必须受到保护以抵御任何至多 $T$ 个串通服务器，且存储数据的安全必须受到保护以抵御任何至多 $X$ 个串通服务器。针对任意存储模式，本文提出了一种可达速率 $(\rho_{\min}-X-T)/N$ 的一般可达方案，其中 $N$ 为服务器总数，每条消息至少被复制 $\rho_{\min}$ 次。值得注意的是，该方案利用了受对偶广义 Reed Solomon (GRS) 码启发的特殊结构。本文还给出了一般逆界。这两个界在许多情形下被证明是匹配的，包括对称存储模式。最后，在无安全约束 ($X=0$) 且每条消息复制次数不超过 $T+2$ 的条件下，针对任意存储模式完全刻画了其渐近容量。作为该结果的一个示例，考虑具有任意基于图存储 ($T=1, X=0$) 且每条消息恰好复制在 $3$ 个服务器上的 PIR。对于该 $3$-复制存储设定，渐近容量等于 $2/\nu_2(G)$，其中 $\nu_2(G)$ 为存储图 $G[V,E]$ 中 $2$-匹配的最大规模。在此无向图中，顶点 $V$ 对应于服务器集合，仅当某子集消息在服务器 $u$ 和 $v$ 上均有复制时，顶点 $u, v$ 之间存在边 $uv\in E$。