基于图复制存储的$X$-安全$T$-私有线性计算渐近容量

基于图复制存储的$X$-安全$T$-私有线性计算(GXSTPLC)问题旨在使用户能从$N$个分布式服务器集合中私有检索消息的线性组合，其中每个消息仅允许存储在服务器的子集上，并满足$X$-安全约束，即任意至多$X$个合谋服务器必须不泄露任何消息信息。此外，任意至多$T$个服务器不能得知用户检索的线性组合的系数。本工作中，我们完全刻画了GXSTPLC的渐近容量，即当消息数$K$趋于无穷时每下载一个符号所能检索的期望符号数的上确界。具体而言，通过构造可达方案，我们证明了Jia与Jafar先前给出的GXSTPLC渐近容量基于线性规划的上界是紧的。值得注意的是，我们的可达方案也解决了基于图复制存储的$X$-安全线性组合(GXSLC)的精确容量(即有限$K$情形)。我们的可达性证明建立在一个密切相关问题——基于图复制存储的非对称$\mathbf{X}$-安全$\mathbf{T}$-私有线性计算(Asymm-GXSTPLC)的可达方案之上，该问题保证消息与系数间非均匀的安全与隐私等级。特别地，通过为GXSTPLC问题精心设计的Asymm-GXSTPLC设置，相应的Asymm-GXSTPLC方案可化简为GXSTPLC的渐近容量可达方案。关于Asymm-GXSTPLC的可达方案，我们构造中引人关注的方面包括利用柯西矩阵的范德蒙德分解的新颖查询与应答设计，以及消息复制、安全与隐私阈值之间的权衡。