自由阿贝尔群中的方程组系统

本文研究秩为 m 的自由阿贝尔群 $\mathbb{Z}^m$ 中随机方程组可解的渐近概率。记 $SAT(\mathbb{Z}^m, k, n)$ 和 $SAT_{\mathbb{Q}^m}(\mathbb{Z}^m, k, n)$ 分别为群 $\mathbb{Z}^m$ 中所有含 k 个变量、n 个方程且在 $\mathbb{Z}^m$ 和 $\mathbb{Q}^m$ 中可解的方程组的集合。我们证明，集合 $SAT_{\mathbb{Q}^m}(\mathbb{Z}^m, k, n)$ 的渐近密度在 $n \leq k$ 时等于 $1$，在 $n > k$ 时等于 $0$。对于 $n < k$，我们给出了集合 $SAT(\mathbb{Z}^m, k, n)$ 上、下渐近密度的非平凡估计。当 $n > k$ 时，集合 $SAT(\mathbb{Z}^m, k, n)$ 是可忽略的。此外，对于 $n \leq k$，我们提供了集合 $SAT(\mathbb{Z}^m, k, n)$ 的渐近密度与涉及满秩矩阵及其最大公约数的和式之间的若干联系。