关于Feinberg-Zee随机跳跃矩阵的对称性

在本文中，我们研究了无限Feinberg-Zee随机跳跃矩阵的谱 $\Sigma$，该矩阵是一个主对角线为零且第一条次对角线和超对角线上为随机 $\pm 1$ 的三对角矩阵；对这一非自伴随机矩阵的研究始于Feinberg和Zee（Phys. Rev. E 59 (1999), 6433--6443）。最近，Hagger（arXiv:1412.1937, Random Matrices: Theory Appl., {\bf 4} 1550016 (2015)）证明了 $\Sigma$ 的所谓周期部分 $\Sigma_\pi$ 满足 $p^{-1}(\Sigma_\pi) \subset \Sigma_\pi$，其中 $p$ 属于首一多项式的一个无穷类 $S$；$\Sigma_\pi$ 被猜想为整个 $\Sigma$，且已知其包含单位圆盘。在本文中，我们明确了 $S$ 的成员构成，特别证明了它包含 $P_m(\lambda) = \lambda U_{m-1}(\lambda/2)$（对于 $m\geq 2$），其中 $U_n(x)$ 是度为 $n$ 的第二类切比雪夫多项式。我们还探讨了这些逆多项式映射的含义，例如证明了 $\Sigma_\pi$ 是其内部的闭包，并且包含无穷多个 $p\in S$ 的填充Julia集，包括 $P_m$ 的填充Julia集，这部分回答了第二作者的一个猜想。