有限域上超特殊阿贝尔曲面 III

在文献 [On superspecial abelian surfaces over finite fields II. J. Math. Soc. Japan, 72(1):303--331, 2020] 中，Tse-Chung Yang 与当前前两位作者显式计算了任意有限域 $\mathbb{F}_q$（其为素域 $\mathbb{F}_p$ 上偶次数扩张）上超特殊阿贝尔曲面的同构类个数 $\lvert \mathrm{SSp}_2(\mathbb{F}_q)\rvert$。其中假设某些交换 $\mathbb{Z}_p$-序满足一个排除素数 $p=2, 3, 5$ 的 étale 条件。我们在本文中处理这些剩余素数，由于分歧的存在，相关计算更为复杂。这完成了偶次数情形下 $\lvert \mathrm{SSp}_2(\mathbb{F}_q)\rvert$ 的计算。奇次数情形此前已由 Tse-Chung Yang 与当前前两位作者在 [On superspecial abelian surfaces over finite fields. Doc. Math., 21:1607--1643, 2016] 中处理。在主要定理的证明过程中，我们给出了局部四元数 Bass 序上格的分类，这为我们先前的工作提供了新的补充。