重尾分布下样本分位数的稳定性与分解

我们研究由估计参数索引的分布的样本分位数，重点关注与金融收益线性投影相关的风险价值，其底层概率律是重尾的。在此设定下，投影方向与经验分位数阈值均由数据估计，因此固定分布下的标准 Bahadur 表示无法区分不同的不稳定来源。一个典范的起点是 Bahadur 表示，它通过经验分布函数加上一个余项来表达样本分位数 \cite{bahadur1966}。经验过程理论通过半空间、对称差以及 Glivenko--Cantelli 一致收敛的机制提供了可用的框架。它们产生稳定性界，但将投影方向的变化与分位数阈值的变化吸收进单一的对称差度量中。有趣的是，对本质上属于局部分位数稳定性的问题施加了全局一致收敛要求。本文引入一种 Q-Q 正交性公式，以分离投影方向与分位数阈值效应。所关注的对象是使用估计投影方向计算的经验分位数与在参考投影方向处计算的总体分位数之差。我们将此差值分解为三项：$\hat q_{\alpha}(\hat w)-q_{\alpha}(w_0)=D_1+D_2+D_3$。其中，$D_1$ 度量由扰动投影方向引起的总体分位数移动，$D_2$ 度量投影方向固定时的经验分位数波动，$D_3$ 是 Bahadur 型余项。