关于 C 型海藻子代数与迂回图

2000年，Dergachev 和 Kirillov 在 $\mathfrak{gl}(n)$ 中引入了“海藻型”子代数，并利用某些图计算了它们的指数。在本文中，这些图被称为 A 型迂回图。随后，Panyushev (2001) 针对任意单李代数定义了海藻型子代数(或简称“海藻”)。即，若 $\mathfrak p_1,\mathfrak p_2\subset\mathfrak g$ 是抛物子代数且满足 $\mathfrak p_1+\mathfrak p_2=\mathfrak g$，则 $\mathfrak q=\mathfrak p_1\cap\mathfrak p_2$ 是 $\mathfrak g$ 中的海藻。Tauvel 和 Yu (2004) 提出了海藻指数的通用代数公式，随后由 Joseph (2006) 证明。如果 $\mathfrak p_1$ 和 $\mathfrak p_2$ 适配于 $\mathfrak g$ 的某个固定三角分解，则称 $\mathfrak q$ 为标准海藻。标准海藻的数量有限。本文中，基于 Dergachev 和 Kirillov 的“图论”方法，我们引入 C 型迂回图，即与 $\mathfrak{sp}(2n)$ 的标准海藻相关联的图，并给出用这些图表示指数的公式。我们还指出，同样的图可用于奇正交李代数。我们还给出了该公式在 $\mathfrak{sp}(2n)$ 中 Frobenius 海藻上的若干应用。特别地，利用标准 Frobenius 海藻集合 $\mathcal F_n$ 的一个自然划分，我们证明了 $\# \mathcal F_n$ 在从 $n$ 到 $n+1$ 时严格递增。对于 $\mathfrak{sl}(n)$ 中的标准 Frobenius 海藻，类似的单调性问题仍是开放的，即便从 $n$ 到 $n+2$ 也是如此。