基于凸不确定性的免疫多面体估计

我们考虑以下问题：给定观测 $y=Ax_*+\zeta$，其中 $A\in {\bf R}^{m\times n}$，$y\in {\bf R}^m$，$x_*\in {\bf R}^n$ 是未知信号，$\zeta$ 是观测噪声，我们希望从观测 $y$ 中恢复 $x_*$。与这类问题的“标准”设定不同，我们假设模型噪声 $\zeta$ 是“被污染的”——包含一个不确定的（确定性稠密或稀疏）分量。具体来说，我们假设 $\zeta$ 可分解为 $\zeta=N\nu_*+\xi$，其中 $\xi$ 是随机噪声，$N\nu_*$ 是“对抗性污染”，且 $\cal N\subset {\bf R}^n$ 已知，$\nu_*\in \cal N$，$N\in {\bf R}^{m\times n}$。我们考虑两种“不确定性设定”，其中 $\cal N$ 要么是凸有界集，要么是稀疏向量集（至多 $s$ 个非零分量）。我们分析了“不确定性免疫”多面体估计——即 [15, 16] 中引入的一类特殊非线性估计——的性能，并展示了在信号集为椭球体（本质上是由二次曲面界定的对称凸集）的情况下，如何通过有效的凸优化程序构造此类“近似最优”的估计。