在 $\|\cdot\|_2^2$ 损失下高斯观测方案中线性恢复的近最优性

我们考虑从被高斯噪声 $\xi$ 污染的 $x$ 的间接观测 $\omega=Ax+\sigma\xi$ 中恢复已知属于给定凸紧集 $X$ 的信号 $x$ 的线性像 $Bx$ 的问题。研究表明，在对 $X$ 的某些假设下（例如当 $X$ 是 $K$ 个同心椭球/椭圆柱的交时满足），一种易于计算的线性估计在其最坏情况下（对 $x\in X$）的期望 $\|\cdot\|_2^2$ 误差意义上，于某种精确意义下是近最优的。此处的主要新颖之处在于我们的结果对 $A$ 和 $B$ 没有限制；据我们所知，先前关于线性估计最优性的结果要么处理直接观测 $A=I$ 和 $B=I$ 的情形，要么处理 $A$、$B$ 为对角阵且 $X$ 由“可分离”约束如 $X=\{x:\sum_i a_i^2 x_i^2\leq 1\}$ 或 $X=\{x:\max_i|a_i x_i|\leq1\}$ 给出的“对角情形”，要么处理估计线性形式（即一维 $Bx$ 的情形）。