关于到非椭圆曲线的 $2\times 2$ 微分包含的正则性与刚性

我们在开集 $\Omega\subset\mathbb R^2$ 中研究微分包含 $Du\in \Pi$，其中 $\Pi\subset \mathbb R^{2\times 2}$ 是一条不含秩一连接的紧致连通 $C^2$ 曲线，但它是非椭圆的：$\Pi$ 的切线可能具有秩一连接，因此经典的正则性和刚性结果不再适用。对于一大类这样的曲线 $\Pi$，我们证明 $Du$ 在离散集外是局部 Lipschitz 的，并且在每个奇点附近被刚性表征。此外，在部分椭圆情况下（即 $\Pi$ 的至少一条切线没有秩一连接），或者在对 $\Pi$ 的切丛施加一些拓扑限制时，不存在奇点。这远远超出了先前已知的与 Burgers 方程和 Aviles-Giga 泛函相关的特定情形。关键在于识别并适当使用一个一般的基础结构：一个无限族守恒律，在标量守恒律理论的参考中被称为熵产生。