稳定与极小弹性曲线的通用刚性原理

对于固定长度约束下平面曲线定义的一大类曲率能量泛函，我们得到了全局与局部极小元的优化必要条件。我们的结果通过一种新颖、统一且几何的方法推广了 Maddocks 和 Sachkov 关于欧拉弹性曲线的刚性原理。这尤其导致了对所有 $p\in(1,\infty)$ 的稳定闭 $p$-弹性曲线以及 $p\in(1,2]$ 的稳定钉扎 $p$-弹性曲线的完整分类。我们的证明基于一个简单但稳健的“剪贴”技巧，无需计算能量或其二阶变分，该技巧对平面周期曲线效果良好，但也扩展到一些非周期或非平面情形。一个分析上值得注意的点是，我们的方法直接适用于高度奇异的区间 $p\in(1,\frac{3}{2}]$，其中即使对光滑变分二阶变分也可能不存在。