关于在分裂闭包推广意义下具有线性秩的多胞形

本文研究了固定正整数 $t$ 时，含于 0-1 立方体中的多胞形相对于 $t$-分支分裂割和 $t$-维格割的秩。当 $t=1$ 时这些不等式与分裂割相同，当 $t>1$ 时推广了分裂割。对于含于 $n$ 维 0-1 立方体中的多胞形，Balas 的工作表明分裂秩至多为 $n$，且该界是紧的，因为 Cornuéjols 和 Li 给出了分裂秩为 $n$ 的例子。所有已知具有高分裂秩（即对某些正常数 $c<1$ 至少为 $cn$）的例子都由指数多个（作为 $n$ 的函数）线性不等式定义。对任意固定整数 $t>0$，我们给出一族含于 $[0,1]^n$ 中（对充分大 $n$）的多胞形，使得每个多胞形具有空整数壳、由 $O(n)$ 个不等式定义，且相对于 $t$-维格割的秩为 $\Omega(n)$。因此这些多胞形的分裂秩为 $\Omega(n)$。先前已证明，存在广义分支定界证明，以对数深度证明这些多胞形中不存在整数点。因此，我们对分裂秩的下界结果展示了分支定界证明深度与分裂秩之间的指数分离。