基于无格点多面体的混合整数线性集分析

分割割是混合整数规划的割平面，其有效性源于形如$S:=\{x : \pi_0 \leq \pi^T x \leq \pi_0+1 \}$的最大无格点多面体（称为分割集）。添加所有分割割得到的集合称为分割闭包，已知分割闭包是一个多面体。分割集$S$的最大面宽度为1，即$\max\{\pi^T x : x \in S \}-\min\{\pi^T x : x \in S \} \leq 1$。本文考虑使用一般的无格点有理多面体来推导混合整数线性集的有效割。我们称最大面宽度等于$w$的无格点多面体具有宽度大小$w$。宽度大小为$w$的分割割是一个有效不等式，其有效性源于一个宽度大小为$w$的无格点有理多面体。第$w$次分割闭包是通过添加所有宽度大小至多为$w$的有效不等式得到的集合。我们的主要结果是添加一族有理不等式导致多面体松弛的充分条件。然后我们证明一个推论是第$w$次分割闭包是一个多面体。基于此结果，一个自然问题是需要多大的宽度大小$w^*$来设计一个不等式有效性的有限割平面证明。具体而言，对于该值$w^*$，存在一个使用宽度大小至多为$w^*$的无格点有理多面体的有限割平面证明，但不存在仅使用宽度大小小于$w^*$的无格点有理多面体的有限割平面证明。我们基于线性松弛的面来刻画$w^*$。