多面体锥体积不等式

我们受离散对数 Minkowski 问题的启发，研究给定矩阵 $U\in\mathbb{R}^{n\times m}$ 的锥体积集合 $C_{\tt cv}(U)$，其中包含由多面体 $P(U,b)=\{ x\in\mathbb{R}^n : U^\intercal x\leq b\}$, $b\in\mathbb{R}^n_{\geq 0}$ 的锥体积向量。我们将证明 $C_{\tt cv}(U)$ 是一条路径连通的半代数集，这扩展了平面情况或特定多面体的既有结果。此外，我们定义了子空间浓度多面体 $P_{\tt scc}(U)$，其在几何上代表了有限离散布尔测度在球面上的子空间浓度条件。这相当于 $U$ 的基 matroid 多面体（按比例缩放），而这两个集合 $P_{\tt scc}(U)$ 和 $C_{\tt cv}(U)$ 也为离散对数 Minkowski 问题提供了新的几何视角。