关于圆图和距离遗传图的多边形数

圆图是圆中弦的交图，k-多边形图是凸 k 边形中弦的交图，其中每条弦的端点位于不同的边上。对于 k ≥ 2，k-多边形图构成一个无限的图类链，每个图类都包含置换图类。所有这些图类的并集是圆图类。圆图 G 的多边形数 ψ(G) 是使得 G 成为 k-多边形图的最小 k。给定一个圆图 G 和一个整数 k，判定 ψ(G) ≤ k 是 NP-完全的，而当 k 固定时，该问题可在多项式时间内求解。在本文中，我们证明 ψ(G) 总是至少与 G 的星数一样大，并且当 G 是一个连通且非团的距离遗传图时，等于 G 的星数。这意味着距离遗传置换图类和距离遗传无 AT 图类是相同的，并且我们给出了该图类的禁止子图刻画。我们还建立了以下上界：如果 G 不是团，ψ(G) 至多为 G 的团覆盖数，至多为 1 加上 G 的独立数，并且至多为 ⌈n/2⌉，其中 n ≥ 3 是 G 的顶点数。我们的结果导出了线性时间算法，用于寻找必须添加到给定圆表示中以产生多边形表示的最小角点数，以及用于寻找距离遗传图的星数，这两者都是对先前针对这些问题的算法的改进。