论 Pidduck 多项式与黎曼 zeta 函数零点

对于 $1<p<\infty$，我们证明：$s$ 为黎曼 zeta 函数在带形区域 $0<\Re s<1$ 内的零点的充要条件是 $$\left(\begin{array}{cccccc} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & \frac{1}{9} & \cdots \\ -\frac{s}{3} & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & \cdots \\ -\frac{s}{5} & -\frac{s}{5} & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{5} & \cdots \\ -\frac{s}{7} &-\frac{s}{7} & -\frac{s}{7} & 1 & \frac{1}{3} & \cdots \\ -\frac{s}{9} & -\frac{s}{9} & -\frac{s}{9} & -\frac{s}{9} & 1 & \cdots \\ \vdots &\vdots & \vdots &\vdots & \vdots & \ddots\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} v_0 \\ v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \\ \vdots \\ \vdots \\ \end{array}\right) =0$$ 在 $\ell^p$ 中有非平凡解 $\left(v_{k}\right)_{k=0}^\infty$。K. M. Ball 在 2017 年发现了类似的矩阵方程，但本文提供了不同（且独立）的视角。本文用 Pidduck 多项式构造了 $v_{k}$ 的显式公式。在此过程中，还证明了 Pidduck 多项式关于多项式 $f,g$ 的一个内积构成正交基，该内积是在形式表达式“$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n \overline{f(n^2)} g(n^2)$”中，将发散和“$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{1+2k}$”替换为其 zeta 函数正则化值而得到的。我们还讨论了针对可能非简单零点的修正，并以对零点简单性问题的应用以及与 Hilbert-Pólya 纲领的关系作为结束。