论自由幂零群的某些扩张与商群的回文宽度

在 arXiv:1303.1129 中，作者给出了秩为 $n$ 的自由 abelian-by-nilpotent 群 $AN_n$ 以及秩为 $n$、步长为 $r$ 的自由幂零群 ${\rm N}_{n,r}$ 的回文宽度的界。在本文中，我们研究群 $\widetilde{AN}_n$ 和 $\widetilde{\rm N}_{n,r}$ 的回文宽度。我们记 $\widetilde{G}_n = G_n / \langle \langle x_1^2, \ldots, x_n^2 \rangle \rangle$ 为群 $G_n = \langle x_1, \ldots, x_n \rangle$（在某一簇中自由）模去由 $x_1^2, \ldots, x_n^2$ 生成的正规子群所得的商群。我们证明商群 $\widetilde{AN}_n$ 的回文宽度是有限的且以 $3n$ 为界。我们还证明商群 $\widetilde{\rm N}_{n, 2}$ 的回文宽度恰好为 $2(n-1)$。我们改进了 ${\rm N}_{n, r}$ 的回文宽度的下界。我们证明 ${\rm N}_{n, r}$（$r\geq 2$）的回文宽度至少为 $2(n-1)$。我们还改进了自由亚阿贝尔群的回文宽度的界。我们证明秩为 $n$ 的自由亚阿贝尔群的回文宽度至多为 $4n-1$。