关于具有有限范围与衰减跳跃过程的非局部系统

我们研究如下方程组 $$L_i(u_i) = H_i(u_1,\cdots,u_m) \quad \text{in} \ \ \mathbb R^n ,$$ 其中 $m\ge 1$，$u_i: \mathbb R^n \to \mathbb R$，$H=(H_i)_{i=1}^m$ 为一列一般非线性项。非局部算子 $L_i$ 由 $$L_i(f (x)):= \lim_{\epsilon\to 0} \int_{\mathbb R^n \setminus B_\epsilon(x) } [f(x) - f(z)] J_i(z-x) dz,$$ 给出，对应一列偶的、非负且可测的跳跃核 $J_i$。我们针对一般跳跃核 $J_i$ 证明了上述系统稳定解的 Poincar\'{e} 不等式。特别地，对于标量方程情形，即 $m=1$ 时，其表述为 \begin{equation*}\label{} \iint_{ \mathbb R^{2n}} \mathcal A_y(\nabla_x u) [\eta^2(x)+\eta^2(x+y)] J(y) dx dy \le \iint_{ \mathbb R^{2n}} \mathcal B_y(\nabla_x u) [ \eta(x) - \eta(x+y) ] ^2 J(y) d x dy , \end{equation*} 对任意 $\eta \in C_c^1(\mathbb R^{n})$ 及某些非负的 $\mathcal A_y(\nabla_x u)$ 与 $\mathcal B_y(\nabla_x u)$ 成立。这是 Sternberg 与 Zumbrun 在 \cite{sz} 中为半线性椭圆方程导出的著名不等式的对应形式，该不等式在文献中被广泛用于建立 De Giorgi 型结果、研究相变与证明正则性质。我们随后将此不等式应用于有限范围跳跃过程与带衰减的跳跃过程，以证明二维下的 De Giorgi 型结果。此外，我们证明只要 $H_i(u)\ge 0$ 或 $\sum_{i=1}^m u_i H_i(u)\le 0$，则关于每个 $u_i$ 在一维与二维中成立 Liouville 定理。最后，我们在跳跃核 $J_i$ 的各种假设下给出了某些能量估计，以及关于 $u$ 偏导之比的 Liouville 定理。