关于高斯场上确界的多个峰值与中等偏差

我们证明了关于一般高斯场极值的两个定理。第一个定理涉及多个峰值的概念。Chatterjee 的一个定理指出，当中心高斯场具有所谓的超集中性质时，它通常在多个近正交位点上取得接近其最大值的值，即所谓多个峰值。我们在两个方面改进了他的定理：(i) 我们界限所达到的峰值数量级为 $\exp(c / \sigma^2)$（相比之下 Chatterjee 的界限是 $1/\sigma$ 的多项式），其中 $\sigma$ 是高斯场上确界的标准差，假设其方差至多为 1；(ii) 我们的界限无需假设相关性为非负。我们还基于自由能的超集中性证明了一个类似的结果。作为主要应用，我们推断对于 $n$-超立方体上的 S-K 自旋玻璃模型和 $\mathbb{Z}_n^2$ 上的定向聚合物，存在多项式数量级（关于 $n$）的近正交位点，其取得的值接近各自的最大值。我们的第二个定理给出了一般高斯场上确界中等偏差的上界。虽然高斯等周不等式暗示了上确界的亚高斯集中界限，但我们表明，如果假设上确界的期望值与独立情形同阶，则该界限中的指数可以得到改进。