关于严格超临界随机图中的 MAXCUT，以及随机图和随机竞赛图的着色

我们利用 Ding、Lubetzky 和 Peres 描述严格超临界状态下随机图巨分支结构的定理，确定了 $G\sim G\left(n,\frac {1+\varepsilon}n\right)$ 的 MAXCUT 的典型大小关于 $\varepsilon$ 的表达式。然后，我们应用此结果证明了 Frieze 和 Pegden 的以下猜想：对于每个 $\varepsilon>0$，存在 $\ell_\varepsilon$，使得以高概率 $G\sim G(n,\frac {1+\varepsilon}n)$ 不同态于具有 $2\ell_\varepsilon+1$ 个顶点的圈。我们还考虑了有偏随机游竞赛图的着色性质。一个在 $n$ 个顶点上的 $p$-随机竞赛图是通过以概率 $p$ 独立地反转传递竞赛图的每条边得到的。我们证明，对于 $p=\Theta(\frac 1n)$，$p$-随机竞赛图的色数行为类似于具有相同边概率的随机图。为了处理 $p=\frac {1+\varepsilon}n$ 的情况，我们使用了上述关于 MAXCUT 的结果。