关于几乎不交族的 $\mathbb R$-可嵌入性以及 Akemann-Doner C*-代数

称 $\mathbb N$ 的子集的几乎不交族 $\mathcal A$ 是 $\mathbb R$-可嵌入的，如果存在函数 $f:\mathbb N\rightarrow \mathbb R$，使得对于不同的 $A\in \mathcal A$，$f[A]$ 是收敛到不同实数的实数序列的值域。众所周知，具有较少分离性的几乎不交族（如 Luzin 族）不是 $\mathbb R$-可嵌入的。我们研究关于 $\mathbb N$ 的几乎不交族的 $\mathbb R$-可嵌入性与分离性质的提取原理及其局限性。我们主要结果的一致性所依赖的一个提取原理是：每个大小为连续统的几乎不交族都包含一个大小为连续统的 $\mathbb R$-可嵌入子族。这在 Sacks 模型中成立。Cohen 模型用来表明上述原理并不由以下事实推出：每个大小为连续统的几乎不交族都有两个大小为连续统的分离子族。我们还在 ZFC 中构造了一个几乎不交族，其中任意两个不可数子族都不能被分离，但总可以将一个可数子族与任意不交子族分离。利用称为受控 $\mathbb R$-嵌入性质的 $\mathbb R$-可嵌入性性质的精细化，我们得到了关于由不可数几乎不交族诱导的 Akemann-Doner C*-代数的如下结果：a) 在 ZFC 中存在密度为 $\mathfrak c$ 的 Akemann-Doner C*-代数，其没有密度为 $\mathfrak c$ 的交换子代数；b) 是否存在密度为 $\mathfrak c$ 且没有不可分离交换子代数的 Akemann-Doner 代数独立于 ZFC。这补全了早先的一个结果：在 ZFC 中存在密度为 $\omega_1$ 且没有不可分离交换子代数的 Akemann-Doner 代数。