调和广义重心坐标的局部性及其在泊松方程求解中的应用

我们首先将基于多边形 $\Omega$ 边界上顶点的广义重心坐标（GBC）的构造推广到一种基于所关注 $\Omega$ 内部顶点的新型 GBC。为清晰起见，标准 GBC 称为边界 GBC，而新型 GBC 称为内部 GBC。随后我们对这两类调和 GBC 进行分析，表明除一个平凡例子外，每个在某一顶点（$\Omega$ 的边界或内部顶点）处取值为 $1$ 的 GBC 函数，在远离其支撑顶点时以指数速度衰减至零。基于该指数衰减性质，我们解释了如何局部逼近调和 GBC 函数。即，由于这两类 GBC 的局部性，可用其在 $\Omega$ 子域上支撑的局部版本来逼近每一个 GBC 函数。这些 GBC 函数的局部版本有助于减少图形设计中形状变形的计算时间。接着，借助这两类 GBC 函数，我们可用其逼近泊松方程狄利克雷问题的解。相较于使用单核或少数 CPU 核的标准方法，这有望利用具有数千或更多处理单元的图形处理单元（GPU）的计算机，提供更高效的泊松方程求解途径。