关于完全图的分离列表染色与集合系统交

我们考虑如下分离列表染色问题：给定图 $G$ 与整数 $a,b$，求最大整数 $c$，使得对于 $G$ 的任意列表指派 $L$，若对任意顶点 $v$ 有 $|L(v)|= a$，且对 $G$ 的任意边 $uv$ 有 $|L(u)\cap L(v)|\le c$，则存在将整数集合指派给 $G$ 的顶点的赋值 $\varphi$，满足对任意顶点 $u$ 有 $\varphi(u)\subset L(u)$ 且 $|\varphi(v)|=b$，并对任意边 $uv$ 有 $\varphi(u)\cap \varphi(v)=\emptyset$。这样的 $c$ 称为 $(G,a,b)$ 的分离数。利用我们对列表集合的一种特殊划分（由此得到了 Poincaré 筛法的改进版本），我们确定了完全图 $K_n$ 在某些 $a,b$ 和 $n$ 取值下的分离数，并对其余取值证明了界。