关于线性代数意义上的扩张概念
组合数学
2023-01-16 v2 离散数学
环与代数
量子物理
摘要
关于有界度图扩张器的一个基本事实是:三种扩张概念——顶点扩张、边扩张与谱扩张——均等价。本文研究此类命题在线性代数意义上的扩张概念中在多大程度上成立。存在两种被充分研究的线性代数扩张概念,即维度扩张(类比图顶点扩张定义)与量子扩张(类比图谱扩张定义)。Lubotzky与Zelmanov证明了后者蕴含前者。我们证明逆命题不成立:存在维度扩张器不是量子扩张器。而且,这种不对称性可由存在两种截然不同的图边扩张的线性代数类比来解释。其中第一种是量子边扩张,由Hastings引入,他证明其等价于量子扩张。我们引入一个新概念,称为维度边扩张,证明其等价于维度扩张,且被量子边扩张所蕴含。因此,上述分离由更精细的分离所蕴含:维度边扩张严格弱于量子边扩张。这一新概念也给出了Lubotzky–Zelmanov结论(量子扩张器是维度扩张器)的一个新的、更模块化的证明。
引用
@article{arxiv.2212.13154,
title = {On linear-algebraic notions of expansion},
author = {Yinan Li and Youming Qiao and Avi Wigderson and Yuval Wigderson and Chuanqi Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2212.13154},
year = {2023}
}
备注
23 pages, 1 figure. Minor edits