关于环的 Lie 同构

一个双边可交换环 A 可产生 Lie 环 $A^{(-)}=(A,[a,b ]=ab-ba)$。关于 Lie 环 $A^{(-)}$ 和 $[A,A]$ 的同构问题在文献中引起了广泛关注。我们证明，如果单位元 $A$ 分解为至少三个完全正交幂等元，则来自 Lie 环 $[A,A]$ 到 Lie 环 $[B,B]$ 的任何同构都是标准的。对于非单元环，描述更为复杂。在某些幂等元的假设下，我们将来自 $[A,A]$ 到 $[B,B]$ 的 Lie 同构延拓为双环同态 $\widehat{A\oplus A^{op}}\to B,$其中 $A^{op}=(A,a\cdot b= b\cdot a),$ 且 $\widehat{A\oplus A^{op}}\to A\oplus A^{op}$ 是环 $A\oplus A^{op}$ 的普适消灾延伸。所得结果用于描述无限矩阵 Lie 代数中的自同构和导数。