论Kaprekar交汇数
数论
2023-03-14 v2
摘要
一个b进制交汇数u具有如下性质：至少存在两种方式将其写为u = v + s(v)，其中s(v)是数v在b进制展开下的各位数字之和。对于十进制情形，Kaprekar在1950和1960年代研究了求K(n)的问题，即使得方程u=v+s(v)恰有n个解的最小u。他给出K(2)=101、K(3)=10^13+1，并猜想K(4)=10^24+102。1966年Narasinga Rao给出了K(5)的上界10^1111111111124+102，以及K(6)、K(7)、K(8)和K(16)的上界。在本工作中，我们导出一组递推关系，可确定任意进制b下的K(n)，并特别蕴含上述猜想的K(n)值是正确的。我们方法的关键在于F(u)（即u=v+s(v)的解的个数）的一个看似全新的递推式。我们通过计算n <= 16且进制b <= 10时的K(n)值来阐明我们的方法，并表明对每个进制K(n)均增长为高度正比于log_2(n)的幂塔。颇为令人惊讶的是，五进制问题的K(n)值由经典的Thue-Morse序列决定，这引导我们为其他进制定义广义Thue-Morse序列。
引用
@article{arxiv.2112.14365,
title = {On Kaprekar's Junction Numbers},
author = {Max A. Alekseyev and N. J. A. Sloane},
journal= {arXiv preprint arXiv:2112.14365},
year = {2023}
}
备注
43 pages, 11 tables, 9 figures, 15 references. Reduced to two authors. Minor updates and changes to layout