Kaprekar 例行程序的基数依赖行为：揭示新规律的理论与计算研究
综合数学
2017-10-18 v1
摘要
考虑以下过程：取任意一个至少包含两个不同数字的四位数。然后，将原数字的各位按升序和降序重新排列，得到两个数，并求这两个数之差。最后，以该差值作为新的四位数重复此例行程序。1949 年，D. R. Kaprekar 首次发现这一被称为 Kaprekar 例行程序的过程总能在 7 次迭代内得到 6174。由于该数在应用 Kaprekar 例行程序后保持不变，它被称为 Kaprekar 常数。先前的工作表明，基数 10 下仅有的 Kaprekar 常数为 495 和 6174，分别对应三位数和四位数的情况。然而，鲜少有人关注其他基数，或研究哪些位数情况和哪些基数存在 Kaprekar 常数。本文分析了三位数情况下 Kaprekar 例行程序的行为，推导了所有三位数 Kaprekar 常数的表达式。此外，作者开发了一系列 C++ 程序来分析整数到达各自 Kaprekar 常数所遵循的路径。令人惊讶的是，从该程序中确定，无论基数如何，三位整数达到 Kaprekar 常数所需的最常见迭代次数始终为 3。当作为矩阵加载时，迭代需求数据展示出一种让人联想到帕斯卡三角形的精确递推关系。
引用
@article{arxiv.1710.06308,
title = {The Base Dependent Behavior of Kaprekar's Routine: A Theoretical and Computational Study Revealing New Regularities},
author = {Daniel Hanover},
journal= {arXiv preprint arXiv:1710.06308},
year = {2017}
}