关于 $p$-adic 环群的 Iwahori-Hecke 代数：双陪集基与 Bruhat 序

我们研究了由 Braverman、Kazhdan 和 Patnaik 构造的 $p$-adic 环群 Iwahori-Hecke 代数 $\mathcal{H}(G^+,I)$，并对他们的两个猜想给出了肯定回答。首先，我们在代数上发展了由双陪集的示性函数给出的 $\mathcal{H}(G^+,I)$ 的“双陪集基”。我们证明了 Iwahori-Matsumoto 公式的一个推广，并由此证明了双陪集基的结构系数是剩余域阶数的多项式。该基自然地由半群 $\mathcal{W}_\mathcal{T}$ 索引，Braverman、Kazhdan 和 Patnaik 在该半群上定义了一个预序。他们的预序是仿射 Weyl 群上 Bruhat 序的自然推广，他们猜想该预序是一个偏序。我们在 $\mathcal{W}_\mathcal{T}$ 上定义了另一个由长度函数分级的序，它显然是一个偏序。我们证明了这两种定义是一致的，从而意味着对他们的猜想给出了肯定回答。有趣的是，长度函数似乎自然地取值于 $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 是“无穷小”的。