关于路笛卡尔积的诱导子图

Chung、Füredi、Graham和Seymour（JCTA，1988）构造了超立方体$Q^n$的一个诱导子图，其具有$\alpha(Q^n)+1$个顶点且最大度小于$\lceil \sqrt{n} \rceil$。随后，Huang（Annals of Mathematics，2019）通过证明超立方体$Q^n$此类诱导子图的最大度至少为$\lceil \sqrt{n} \rceil$证明了灵敏度猜想，并提出问题：给定图$G$，令$f(G)$为$G$上含$\alpha(G)+1$个顶点的诱导子图的最大度的最小值，关于$f(G)$我们能得出什么结论？本文中，我们针对路的笛卡尔积$P_m$（记为$P_m^k$）研究该问题。当$m=2n+1$时，我们通过证明对$n\geq 2$有$f(P_{2n+1}^k)=1$且$f(P_3^k)=2$确定了$f(P_{m}^k)$的精确值；当$m=2n$时，我们通过证明$f(P_{2n}^k)\geq \lceil \sqrt{\beta_nk}\rceil$给出了$f(P_{m}^k)$的非平凡下界。特别地，当$n=1$时，有$f(Q^k)=f(P_{2}^k)\ge \sqrt{k}$，此即Huang的结果。$f(P_{3}^k)$与$f(P_{2n}^k)$的下界由采用Huang提供的谱方法给出。