积图的导出子图与 Huang 定理的一个推广

近来, Huang 在 [Annals of Mathematics, 190 (2019), 949--955] 中证明了 n 维超立方体的每个具有 $(2^{n-1}+1)$ 个顶点的导出子图的最大度至少为 $\sqrt{n}$。本文讨论笛卡尔积图与半强积图的导出子图,以推广 Huang 的结果。设 $\Gamma_1$ 为阶数 $n$ 的连通带符号二部图, $\Gamma_2$ 为阶数 $m$ 的连通带符号图。通过定义 $\Gamma_1$ 与 $\Gamma_2$ 的两种带符号积,记为 $\Gamma_1\widetilde{\Box}\Gamma_2$ 与 $\Gamma_1\widetilde{\bowtie} \Gamma_2$,我们证明若 $\Gamma_1$ 与 $\Gamma_2$ 分别恰有两个互异的邻接特征值 $\pm\theta_1$ 与 $\pm\theta_2$,则 $\Gamma_1\widetilde{\Box}\Gamma_2$ (相应于 $\Gamma_1\widetilde{\bowtie} \Gamma_2$) 的每个具有 $(\frac{1}{2}mn+1)$ 个顶点的导出子图的最大度至少为 $\sqrt{\theta_1^2+\theta_2^2}$ (相应于 $\sqrt{(\theta_1^2+1)\theta_2^2}$)。此外,我们讨论了 $\Gamma_1\widetilde{\Box} \Gamma_2$ 与 $\Gamma_1\widetilde{\bowtie} \Gamma_2$ 的特征值,并得到了 $\Gamma_1\widetilde{\Box}\Gamma_2$ 与 $\Gamma_1\widetilde{\bowtie}\Gamma_2$ 的谱对称的一个充要条件,由此获得了关于导出子图最大度的更一般结果。