关于笛卡尔积子图密度的研究

在本文中，我们将关于超立方体子图密度的两个经典结果推广到任意连通图的笛卡尔积 $G_1\times\cdots\times G_m$ 的子图 $G$。具体而言，我们证明 $\frac{|E(G)|}{|V(G)|}\le \lceil 2\max\{ \text{dens}(G_1),\ldots,\text{dens}(G_m)\} \rceil\log|V(G)|$，其中 $\text{dens}(H)$ 是 $H$ 的所有子图 $H'$ 上 $\frac{|E(H')|}{|V(H')|}$ 的最大比值。我们引入笛卡尔积 $G_1\times\cdots\times G_m$ 的子图 $G$ 的 VC-维 $\text{VC-dim}(G)$ 和 VC-密度 $\text{VC-dens}(G)$ 的概念，推广了集合族（视为超立方体的子图）的经典 Vapnik-Chervonenkis 维。我们证明若 $G_1,\ldots,G_m$ 属于所有不包含给定图 $H$ 作为次图的有限连通图类 ${\mathcal G}(H)$，则对 $G_1\times\cdots\times G_m$ 的任意子图 $G$ 成立更尖锐的不等式 $\frac{|E(G)|}{|V(G)|}\le \text{VC-dim}(G)\alpha(H)$，其中 $\alpha(H)$ 是 ${\mathcal G}(H)$ 中图的密度。我们将这两个结果细化并锐化到若干特定图类。我们还推导了笛卡尔积子图的邻接标记方案大小的上界（其中一些为多对数级）。