关于半立方体子图密度的研究

设 $\mathcal S$ 为基数 $m$ 的集合 $X$ 的子集族，$\text{VC-dim}(\mathcal S)$ 为 $\mathcal S$ 的Vapnik-Chervonenkis维。Haussler、Littlestone和Warmuth（Inf. Comput., 1994）证明了若 $G_1(\mathcal S)=(V,E)$ 是由 $\mathcal S$ 诱导的超立方体 $Q_m$ 的子图（称为 $\mathcal S$ 的1-包含图），则 $\frac{|E|}{|V|}\le \text{VC-dim}({\mathcal S})$。Haussler（J. Combin. Th. A, 1995）利用平移操作给出了该不等式的一个优雅证明。在本注记中，我们改造平移技术以证明：若 $\mathcal S$ 为任意集合族且 $G_{1,2}(\mathcal S)=(V,E)$ 为 $\mathcal S$ 的1,2-包含图（即由 $\mathcal S$ 诱导的超立方体 $Q_m$ 的平方 $Q^2_m$ 的子图），则 $\frac{|E|}{|V|}\le \binom{d}{2}$，其中 $d:=\text{cVC-dim}^*(\mathcal S)$ 为 $\mathcal S$ 的团-VC维（本文引入）。1,2-包含图恰为半立方体的子图，并以Johnson图的子图为一子类。