高反差连续渗流模型中的均质化电导率与分形结构

在前一篇文章 (S. Matsutani, Y. Shimosako 和 Y. Wang, Physica A \bf{391} (2012) 5802-5809) 中，我们对二维连续渗流模型 (CPM) 中具有高反差局部电导率（$\gamma_0$ 和 $\gamma_1$，$0<\gamma_0 \ll \gamma_1$）的电势问题进行了数值研究。作为数值结果，我们在那里展示了等势线在阈值 $p_c$ 附近表现出分形结构，并给出了一条近似曲线，表示在 $[p_c,1]$ 区间内均质化电导率与体积分数 $p$ 之间的关系。在本文中，利用电导率的对偶性和准调和性质，我们重新研究了这些主题以改进上述结果。我们表明，在 $\gamma_0\to0$ 时，CPM 中的准调和电势问题在拟共形意义上等价于随机狭缝问题，这使我们能够观察到阈值处的共形性质与分形结构之间的联系。此外，基于这些结果，我们将近似曲线的定义域 $[p_c,1]$ 扩展至 $[0,1]$，并部分推广至三维情形。这些曲线很好地反映了电导率的数值结果。