关于 Hedetniemi 猜想与 Poljak-Rodl 函数

Hedetniemi 于 1966 年猜想对任意图 G 和 H 有 $\chi(G \times H) = \min\{\chi(G), \chi(H)\}$。此处 $G\times H$ 是以 $V(G)\times V(H)$ 为顶点集的图，当 $xx'\in E(G)$ 且 $yy'\in V(H)$ 时定义 $(x,y)$ 与 $(x',y')$ 相邻。该猜想在过去半个世纪受到大量关注。它最近被 Shitov 推翻。Poljak-R"{o}dl 函数定义为 $f(n) = \min\{\chi(G \times H): \chi(G)=\chi(H)=n\}$。Hedetniemi 猜想等价于对所有整数 $n$ 有 $f(n)=n$。Shitov 的结果表明当 $n$ 足够大时 $f(n)<n$。利用 Shitov 的结果，Tardif 和 Zhu 证明了当 $n$ 足够大时 $f(n) \le n - (\log n)^{1/4}$。利用 Shitov 的方法，He--Wigderson 证明了对于 $\epsilon \approx 10^{-9}$ 且 $n$ 足够大，有 $f(n) \le (1-\epsilon)n$。在本注记中，我们证明对 Zhu 和 Tardif 论文中证明的轻微修改表明当 $n$ 足够大时 $f(n) \le (\frac 12 + o(1))n$。另一方面，未知 $f(n)$ 是否被常数界定。然而，我们确知若 $f(n)$ 被常数界定，则最小的此类常数至多为 $9$。本讲义给出上述结果的自包含证明。