关于广义Grigorchuk超群的增长

Grigorchuk 超群 $\tilde{\mathcal{G}}$ 是一个具有中间增长的分支群。它包含 1980 年构造的第一个具有中间增长的 Grigorchuk 扭群 $\mathcal{G}$，但也包含无限阶元素。它的增长显著大于 $\mathcal{G}$ 的增长。对应于序列 $(012)^\infty = 012012 ...$ 的群 $\mathcal{G}$ 是族 $\{ G_\omega | \omega \in \Omega = \{ 0, 1, 2 \}^\mathbb{N} \}$ 的一员，当序列 $\omega$ 不是几乎常值序列时，该族由具有中间增长的群组成。遵循此构造，我们定义广义超群族 $\{ \tilde{G}_\omega, \omega \in \Omega \}$。则 $\tilde{\mathcal{G}} = \tilde{G}_{(012)^\infty}$，且对每个 $\omega \in \Omega$，$G_\omega$ 是 $\tilde{G}_\omega$ 的子群。我们证明，若 $\omega$ 最终为常数，则 $\tilde{G}_\omega$ 具有多项式增长；若 $\omega$ 非最终常数，则 $\tilde{G}_\omega$ 具有中间增长。