关于广义 Stam 不等式与 Fisher-Rényi 复杂度测度

信息论不等式在众多科学和技术领域发挥着基础性作用，因为它们通常表达了无法通过有限数量的信息测度对系统进行完整描述的不可能性。特别地，它们促成了对（量子）系统内部复杂度的各种量化指标（统计复杂度测度）的设计。在本文中，我们引入了一种三参数 Fisher-Rényi 复杂度，命名为 $(p,\beta,\lambda)$-Fisher-Rényi 复杂度。该复杂度测度量化了 $\rho$ 的展宽与梯度含量的组合平衡，并具有统计复杂度的三个主要性质：平移和尺度变换下的不变性，以及通用的下界。后者通过推广 Stam 不等式得到证明，该不等式对概率密度函数的 Shannon 熵功率与 Fisher 信息的乘积给出了下界。Bercher 和 Lutwak 已提出该不等式的一个推广，它是本文广义不等式的一个特例，其中三个参数是关联的，从而允许确定尖锐下界及具有最小复杂度的相关概率密度。利用微分-escort 形变的概念，即使在三个参数解耦（在一定范围内）时，我们也能够确定该复杂度测度的尖锐界限。我们还确定了使不等式饱和的分布：$(p,\beta,\lambda)$-高斯分布，该分布包含一个逆不完全贝塔函数。最后，我们计算了谐振子和类氢系统各种量子力学态的复杂度测度，这两个系统是受中心势作用的物理系统的两个主要原型。