光滑与 o-小范畴下的广义 Dirichlet 积分

给定一维紧致流形 $M$ 配备光滑向量场 $X_1,\ldots, X_r$，我们考虑广义 Dirichlet 能\n\n$$\mathbf{E}(f)= \sum_{j=1}^r\int_M |X_jf|^2\, dm,$$\n\n其中 $dm$ 为体积形式，询问集合\n\n$$\mathcal{B}=\{f\in L^2(M)\colon\,\mathbf{E}(f)+\lVert f\rVert_{L^2(M)}^2\leq 1 \}\n$$\n\n在 $L^2(M)$ 中是否预紧致。我们在“迭代特征集”术语中给出几何充分条件，并据此表明：若向量场光滑且在一组稠密点上满足某阶数的 H"ormander 条件，则唯一阻碍预紧致性是特征子流形的存在（即每个 $X_j$ 对其正粗糙维数的子流形）。本文附录中讨论了关于不一定满足 H"ormander 条件的 sum-of-squares 算子全局正则性的含义。